الرئيسية / رياضيات / فرضية الاتصالية
الاتصالية
الاتصالية

فرضية الاتصالية

«فرضية الاتصالية ــ continuum hypothesis» في الرياضيات ونظرية المجموعات فرضية الاتصالية وتختصر CH، هي تصور وضعه الرياضي «جورج كانتور ــ Georg Cantor »عام 1878عن الأحجام الممكنة للمجموعات اللانهائية. وتنص على:

(أنه لا يوجد مجموعة أصليتها (عدد عناصرها الأصلية) محددة بشكل صارم بين الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية).

) There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and the real numbers(.

أخذت هذه الفرضية على محمل الجد بداية من العام 1900 حينما عرضها «ديفيد هيلبرت David Hilbert» كأول مسالة ضمن 24 مسالة في الكونجرس الدولي للرياضيات. حينما قال إننا بحاجة إلى تأكيد أو نفي هذه الفرضية.

في الحقيقة أن إجابة هذا السؤال كانت مستقلة عن بديهيات نظرية المجموعات  لـ«زيرميلو ففرانكل  Zermelo–Fraenkel» وتختصر ZFC ،وكذلك «بديهية الاختيار ــ the axiom of choice». إذا فإن الفرضية نفسها أو أحد نقيضاتها يمكن ان تضاف كبديهية جديدة إلى نظرية مجموعات ZFC وبديهية الاختيار كبديهية مستقلة جديدة. وتعتبر من أقدم المعضلات الرياضية الغير محلولة.

وأول محاولة والتي اقتربت كثيرا من البرهنة عليها ولكنها لم تكتمل كانت عن طريق «كيرت جودل ــ Kurt Godel» عام 1938. والذي برهن أنه من المستحيل تفنيد هذه الفرضية باستخدام البديهيات التقليدية لنظرية المجموعات. إذا من الممكن أن تكون ال CH صحيحة أو غير قابلة للبرهنة. وفي عام 1963 اثبت «بول كوهين Paul Cohen» أخيرا إنها لا يمكن البرهنة عليها. ومثلما قام الرياضيون بإضافة مجموعات جديدة من البديهيات الحسابية فلابد لهم أيضا من إضافة فرضية الاتصالية إلى قائمة البديهيات الرياضية.

ان مسألة الاتصالية لكانتور هي ببساطة التساؤل: كم عدد النقاط الموجودة على خط مستقيم في الفضاء الإقليدي؟ أو بصيغة أخرى: كم عدد المجموعات المختلفة الموجودة للأعداد الصحيحة؟ فهي تساؤل عن مقدار أو حجم اللانهاية.

«مبدأ الترتيب الجيد ــ Well ordering principle » ينص على أن كل «مجموعة غير خالية ــ non-empty set» من الأعداد الصحيحة الموجبة لابد أن تحتوي على «عنصر أصغر ــ least element » . ويعرف على أنه العنصر من المجموعة الجزئية S والذي يكون أصغر من أي عنصر اخر في المجموعة S.

وهو نقيض «العنصر الأكبر ــ the greatest element » للمجموعة الجزئية S والتي هي جزء من «مجموعة مرتبة جزئيا partially ordered set » أو كا تختصر (poset) والذي يعرف على أنه عنصر من S والذي يكون أكبر من أي عنصر آخر في المجموعة S.

أو بطريقة أخرى مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة «مرتبة جيدا ــwell ordered»

# عندما نتحدث عن أصلية مجموعة ما فإننا نعني بذلك حجم هذه المجموعة. و«للمجموعات المحدودة – Finite sets» فإن هذا الأمر بسيط للغاية. مثلا المجموعة ( 1،15 ،9 ،12 ) لها أربع عناصر وكذلك فرقم أصليتها هو أربعة ( Cardinality = 4  ) .

# أما عند التعامل مع «المجموعات اللانهائية ــinfinite sets » مثل مجموعة الأعداد الطبيعية N . أو مجموعة الأعداد الزوجية e. أو مجموعة الأعداد الحقيقية R، يجب أن نكون أكثر حذرًا. حيث يتضح أن اللانهاية مصطلح مطاط يوصف أحجاما كثيرة ومختلفة للمجموعات. ولكن السؤال الذي يتساءل عن أي المجموعات ألانهائية هي الأكبر هو سؤال صعب ومهم جدا في الحقيقة للتفرقة بين الأحجام المختلفة للمجموعات في نظرية الأعداد.

ولفهم كيف أنه من الممكن أن يكون للمجموعات اللانهائية «أصلية ــ cardinality» مختلفة. فإننا سنحتاج إلى تعريف جيد للمعنى القائل بأن «مجموعتين لهما نفس الحجم ــ 2 sets of the same size »  .

يصنف الرياضيون مجموعتين على ان لهما نفس الحجم أو نفس الأصلية إذا كان باستطاعتك توصيل كل عنصر في أحد المجموعتين بعنصر وحيد بالضبط مقابل له في المجموعة الأخرى. كل عنصر في كل مجموعة يحتاج رفيقا واحدا فقط ولا يوجد أي عنصر منهما بإمكانه ان يحظى بأكثر من صديق واحد من المجموعة الأخرى. إذا كان بإمكانك كتابة قاعدة لفعل ذلك. وهي التوصيل إذا فالمجموعات لها نفس الأصلية. وعلى النقيض: إذا كان بإمكانك إثبات أنه لا يوجد ربط ممكن إذا ف الأصليتين للمجموعتين مختلفتين.

على سبيل المثال (1 ،15 ،9 ،12) والمجموعة (1 ،2 ،3، 4) لهما نفس الأصلية. حيث أن «العدد الأصلي cardinal number» لهما هو 4. إذا يمكنك إنشاء ربط أو «توصيل متقن ــ perfect match» بينهما.

حسنا الآن ماذا عن الأرقام الطبيعية والأرقام الزوجية؟ كيف يمكننا عمل «ربط متقن ــ perfect matching» بين مجموعتين لا نهائيتين؟

اقرن كل عدد طبيعي n مع عدد زوجي 2n. وحيث ان هذه الطريقة ستجمع بين كل عنصر من عناصر المجموعة n مع عدد زوجي وحيد فقط. وحيث أن كل رقم طبيعي يحصل على عدد زوجي مختلف. فإننا بذلك أتممنا عملية التوصيل بنجاح. لذلك نقول إن مجموعة الاعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الزوجية لها نفس الأصلية.

وهذا يبدو متناقضا حيث أن الأعداد الزوجية هي «مجموعة ــ جزئية subset» من الأعداد الطبيعية. ربما للوهلة الأولى ستعتقد أن مجموعة الأعداد الطبيعية هي ضعف مجموعة الأعداد الزوجية. حيث يوجد رقم طبيعي إضافي بين كل عددين زوجيين. ولكن عند استعراض «مفارقة الفندق ألَّا نهائي ــ infinite hotel paradox» سيتقلص لديك هذا الشعور بالتناقض. حيث ستكتشف أن اللانهاية مصطلح خادع والطريقة الوحيدة لكشف هذا الخداع هي بعمل توصيل مباشر لكل عنصر من عناصر أحد المجموعتين مع العنصر الاخر.

الآن سنستعرض مجموعة أخرى لمقارنتها مع الأعداد الطبيعية ألا وهي «مجموعة الأعداد الحقيقية ــ Real Numbers» R، سيتضح أنه لا يوجد ربط ممكن بين عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية والحقيقية. فيما يعرف ب «طرح كانتور القطري – ــargument  cantor’s diagonal ». وحيث أن مجموعة جميع الاعداد الحقيقية هي مجموعة لها حجم كبير للغاية، فهذه الحقيقة تثير التساؤل التالي:

هل هنالك مجموعات أخرى والتي بدورها أكبر من مجموعة الأعداد الطبيعية ولكنها أصغر من مجموعة الأعداد الحقيقية؟ هذا التساؤل هو جوهر فرضية الاتصالية والإجابة عليه كانت (لا يوجد) أي انه لا يوجد مجموعات وسطية الحجم بينهما.

عن أحمد حسيني

الفضول شهوة تفوق الغرائز البشرية مجتمعة ، يُشعِلُ لهيبها التساؤل ، ولايُشبِعُها إلا المعرفة .

x

‎قد يُعجبك أيضاً

مسألة أبولونيوس عن الدوائر المماسة لثلاثة دوائر معلومة

في الهندسة الرياضية «مسألة أبولونيوس» هي عملية انشاء دوائر مماسة لثلاث دوائر ...