الرئيسية / رياضيات / سلسلة مشكلات ممتعة – الجزء الأول

سلسلة مشكلات ممتعة – الجزء الأول

اللغز الأول: الساعة الرقمية والساعة العقارب

إذا وضعنا ساعة رقمية بجوار ساعة عقارب، سنلاحظ أن رقم الدقائق a
في الساعة الرقمية = قيمة الزاوية بين عقربي الدقائق والساعات في الساعة العقارب، يحدث هذا عدة مرات في اليوم.

هل يمكنك معرفة تلك الأوقات التي يحدث فيها هذه الظاهرة؟

كما ترى في الصورة فإن الساعة 10:27.

بالتأكيد ليست إحدى هذه الأوقات؛ لأن الزاوية بين عقربي الساعات والدقائق أكبر بكثير من 27º.

مع الأخذ في الاعتبار عدم السماح باستخدام كسور في الدقائق، وأنه لا يوجد عقرب للثواني.

 


اللغز الثاني: المكعبات المطلية

ss

كتلة خشبية مستطيلة- وليست بالضرورة مكعب- تم طلائها من الخارج وبعد ذلك تم تقسيمها إلى مكعبات حجم كل مكعب 1 وحدة مكعبة. وتبين أن نصف المكعبات ليس عليها طلاء.

ما هي أبعاد الكتلة الخشبية قبل طلائها؟

 


اللغز الثالث: سيارة جولي

az

عندما تسافر أسرة جولي والدها يقود دائمًا، وأمها تجلس دائمًا في المقعد الأمامي، وتجلس جولي وإخوتها في مقاعد الصف الأوسط والخلفي من سيارتهم.

أخبرت جولي إخوتها وأخواتها أنه:” من بين كل الطرق التي يستطيع اثنان منا الجلوس في الصف الأوسط، فأنا أشارك في ثلث هذه الأزواج”.

كم عدد الأشقاء لدى جولي؟

 




 

حل اللغز الأول:            الحل:    12:00  ،   03:20  ،     06:40

من السهل أن نرى أن عدد الدقائق في الساعة الرقمية مساوٍ لقيمة الزاوية بين عقربي الساعة عند الساعة الثانية عشر ظهرًا ومنتصف الليل. في ذلك الوقت، عقربي الساعات والدقائق يكونا فوق بعضهما البعض، وبالتالي فإن الزاوية بينهما صفر درجة. في نفس الوقت، تُظهر الساعة الرقمية صفر في خانة الدقائق. ولإيجاد حلول أخرى، نفرض أن: الساعة = h ، والدقيقة = m.

عقرب الساعات يتحرك كل ساعة بقيمة 30 درجة «أي نصف درجة كل دقيقة»، أما عقرب الدقائق فيتحرك كل دقيقة 6 درجات.

وبالتالي فإن قيمة الزاوية بين عقربي الساعات والدقائق تُعطَى بإحدى هاتين المعادلتين:

m = 6m − (30h + m / 2) → 9m=60h

m = (30h + m / 2) − 6m → 13m=60h

ويتضح في المعادلتين السابقتين، أن القيم الممكنة للساعة هي 1، 2، 3، ……، 12. ولذلك، فإن حلول المعادلة الأولى هي (3، 20)، (6، 40)، (9، 60)، (12 ، 80). الحلان الأولان يتطابقا مع الاوقات 3:20 و06:40. بينما يعتبر أخِر اثنين حلولًا للمعادلة لكن ليسا بحلول لهذه المشكلة؛ لأن الساعة الرقمية لا تعرض أبدًا 60 أو 80 في خانة الدقائق.

لا توجد حلول للمعادلة الثانية؛ لأن المعادلة تعني أن قيمة أرقام الساعات يجب أن تحتوي على العامل  13، والأرقام 1، 2، 3، …، 12 ليست من مضاعفات الرقم 13.

وأخيرًا، إذا وضعنا قيمة m = 0  في كلا المعادلتين فإن قيمة h = 0. وهذا يعطينا حلًا إضافيًا (0، 0)، والذي يتطابق بصريًا مع الساعة 12:00.


 حل اللغز الثاني:

العديد من الكتل المختلفة تطابق هذه الشروط، بما في ذلك:
(5 × 13 × 132    ,  5 × 14 × 72    ,  5 × 15 × 52 ,      5 × 16 × 42      ,  5 × 17 × 36,   5 × 18 × 32,      5 × 20 × 27,       5 × 22 × 24,        6 × 9 × 56,          6 × 10 × 32,   6 × 11 × 24,       6 × 12 × 20,         6 × 14 × 16      7 × 7 × 100,         7 × 8 × 30,   7 × 9 × 20,        7 × 10 × 16,         8 × 8 × 18,           8 × 9 × 14,         8 × 10 × 12).

عند تقسيم الكتلة الخشبية، سوف يكون الطلاء فقط على تلك المكعبات التي وجهها ظاهرة على السطح، بينما جميع المكعبات الداخلية ستكون غير مطلية.

إذا كانت أضلاع المكعب هي a, b, c فإن المكعبات المطلية هي «cba»

والمكعبات غير المطلية هي (a – 2) (b – 2) (c – 2) كما هو واضح بالشكل التالي:

ئئء

بما أن نصف المكعبات مطلية باللون، هذا يؤدي إلى المعادلة التالية:

1/2 a b c = (a2) (b2) (c2)

يمكنك الآن تنفيذ استراتيجية التخمين والتحقق من الحل. بالتعويض في المعادلة عن قيم a , b   فيعطينا قيمة c .

وإذا كان ناتج c  عدد صحيح موجب فإنه يمثل حل للغز، وإذا كان غير ذلك حاول مرة أخرى.

كما هو موضح في المثالين التاليين:

a = 4 , b = 5     بالتعويض عن

1/2(4)(5)c = (4−2)(5−2)(c−2)

10c = 6c − 12

4c = −12

c = −3

 

a = 6 , b = 9     بالتعويض عن

1/2(6)(9)c = (6−2)(9−2)(c−2)

27c = 28c − 56

c = −56

c = 56

c عدد سالب  

 

c  عدد صحيح موجب

 لا تمثل حل للغز

 

  هي أبعاد الكتلة الخشبية6 × 9 × 56

الطريقة التي سبق ذكرها تعطي أحد الحلول الممكنة، لإيجاد جميع الحلول الممكنة يتطلب ذلك حل المعادلة الأصلية أعلاه للوصول إلى الحل.

1/2 abc = (a−2)(b−2)(c−2)

abc   = 2 (2abc −2ab −2ac −2bc +4+4+4−8)

abc −4ac −4ab +8a   =  4bc −8b −8c +16

a  =      4bc8b 8c +16

           bc 4b 4c +8

وجود قيم اختيارية ل (b,c)، يمكِّنك من تحديد القيمة المطابقة a.  لكن هذا يمكن أن يصبح شيء فوضوي غير منظم، لذلك يمكن استخدام برنامج Excel  كونه مفيد مع العمليات الحسابية. ومن المفيد أيضًا أن نلاحظ أن واحدًا على الأقل من الأبعاد يجب أن يكون أقل من 10 وحدات. وإذا كان كل الأبعاد أكبر من 10 وحدات، فإن عدد المكعبات الداخلية سيكون دائما أكبر من نصف العدد الإجمالي. هذا يعني أنك لا تحتاج إلى النظر في كتل أبعادها كلها أكبر من 10.


 حل اللغز الثالث:          الحل:  5 أشقاء

إذا كان لجولي أخ واحد، أليسون، لن يكون هناك سوى طريقة واحدة للجلوس في الصف الأوسط، وتشارك جولي في هذا الزوج. وتكون نسبة مشاركته  1/1، والتي هي أكثر من 1/3 النسبة المطلوبة.

إذا كان لجولي شقيقان، أليسون وباراك، سيكون هناك ثلاث طرق لتكوين الأزواج وهى:

الزوج الأول جولي مع أليسون والزوج الثاني جولي مع باراك والزوج الثالث أليسون مع باراك؛

وبالتالي تشارك جولي في اثنين من الأزواج الثلاثة وتكون نسبة المشاركة 2/3 لكنها ليست النسبة المطلوبة.

ويمكن استخدام نفس الطريقة مع ثلاثة أو أربعة أشقاء. فمع ثلاثة أشقاء تشترك جولي في ثلاثة من ستة أزواج أي النصف. مع أربعة أشقاء، تشارك جولي في أربعة من عشرة أزواج – لا تزال النسبة غير مطابقة للنسبة المطلوبة.

مع خمسة أشقاء، تتحقق النسبة المطلوبة. إذا كان إخوتها هم أليسون، باراك، كامرين، ديفيد، وإدانا، إذًا الأزواج التالية ممكنة:

Julie  ,  Alison  , Barack Camryn David  ,   Edana

JA

AB

BC

CD

DE

JB

AC

BD

CE

JC

AD

BE

JD

AE

JE

هناك 15 زوج وتشارك جولي في خمسة منها تلك الموجودة في العمود الأول . وهذا يعطي نسبة 5/15 = 1/3، كما هو مطلوب.

يوجد حل أخر جبري:

بفرض أن جولي لديها n من الأشقاء، وبالتالي فإن العدد الكلي للأزواج يعطى بالعلاقة التالية:

1/2 (n) (n + 1)

وبالتالي فإن النسبة بين عدد الأزواج التي تشترك فيها جولي إلى العدد الكلي للأزواج يعطي بالعلاقة التالية:

2n / (n)(n + 1)

وبالتعويض عن عدد الأشقاء في هذه العلاقة n = 5 فإن النسبة تساوي 1/3 وهي النسبة المطلوبة.

هناك حل هندسي:

بإعتبار أن جولي وأشقائها الخمسة رؤوس شكل سداسي وأضلاع وأقطار الشكل تمثل الأزواج والشكل التالي يوضح ذلك:

 

كما هو واضح بالشكل فإن عدد الأزواج التي تشترك فيها جولي 5 ويمثلها الخطوط الحمراء

وباقي الأزواج ممثلة بالخطوط الزرقاء.

العدد الكلي للأزواج 15 وعدد الأزواج التي تشترك فيها جولي 5 وبالتالي فإن النسبة 1/3 وهي النسبة المطلوبة.



ترجمة وتصميم: Mahmood Yosef Mahmood

مراجعة:Muhammad Mossad

المصادر:

http://sc.egyres.com/nU0gW

http://sc.egyres.com/tPUez

http://sc.egyres.com/P1EH9

#الباحثون_المصريون

عن محمود يوسف

معلم رياضيات باحث دكتوراة
x

‎قد يُعجبك أيضاً

مسألة أبولونيوس عن الدوائر المماسة لثلاثة دوائر معلومة

في الهندسة الرياضية «مسألة أبولونيوس» هي عملية انشاء دوائر مماسة لثلاث دوائر ...